Hija y sobrina de discípulas de Granados, Alicia creció desde muy niña en un ambiente muy musical, al cual , poco después, se añadieron las sabias enseñanzas del continuador de la Academia Granados, el también discípulo suyo Frank Marshall. Allí conoció a Rubinstein, Saauer, Cortot y otros grandes pianistas de la época.

Aunque gradualmente fue dando pequeños recitales, su debut con orquesta tuvo lugar con los maestros Joan Lamote de Grignon en Barcelona y Enrique Fernández Arbós en Madrid, a principios de 1936.

Después de 1939, empezó a ser reclamada por las Sociedades de Música y orquestas europeas.

Debutó en los Estados Unidos en 1954, cuando Alfred Wallenstein la invitó a hacer una gira con la Filarmónica de Los Ángeles. Desde entonces ha actuado asiduamente en los más prestigiosos festivales con las más grandes orquestas y directores de fama mundial. Uno de sus recuerdos más queridos es la colaboración con Francis Poulenc tocando en Barcelona su Concierto para dos Pianos. También las valiosas y entrañables colaboraciones con cantantes, violoncelistas, violinistas y grupos de cámara.

Sus giras de conciertos alcanzan los cinco continentes: Europa, África, Asia, América y Oceanía.

Entre la gran cantidad de premios recibidos, podemos citar que ha sido investida Doctora Honoris Causa por las Universidades de Michigan, Middlebury College-Vermont y Carnegie Mellon; es Académica Honoraria de las Reales Academias de Bellas Artes de San Fernando de Madrid (1981), Nuestra Señora de las Angustias de Granada (1994) y Sant Jordi de Barcelona (2000). Es Premio Fundación Guerrero de Música Española (Madrid, 1999), UNESCO (París, 1995). Es asimismo Commandeur dans l'Oordre des Arts et des Letters (París, 1988) y Medalla de Oro al Mérito de las Bellas Artes (Madrid, 1982), entre otros.

Su trayectoria discográfica ha sido reconocida por cuatro Premios Grammy (Burbank, Ca., 1974, 1975, 1988, 1991), tres premios Edison ( Amsterdam, 1968, 1978, 1989), dos Grand Prix du Disque (París, 1960, 1974), dos Record of the Year (Londres, 1971, 1974), un Deutsche Schallplattenpreis (Hanburgo, 1979) y un Premio Franz Liszt (Budapest, 1980).